Question

11．已知函數f（x）=ln（1+x）-$\frac{x}{1+2x}$．
（1）求f（x）的單調區(qū)間；
（2）若a＞0，b＞0，求證：ln2a-lnb≥1-$\frac{2a}$．

Answer 1

分析 （1）對函數求導數，然后在定義域內研究導數的符號即可；
（2）先將原式化成ln$\frac{2a}+\frac{2a}$≥1，然后構造函數g（x）=$lnx+\frac{1}{x}，（x＞0）$，只需說明其最小值大于或等于1即可，利用導數不難解決．

解答 解；（1）易知f$′（x）=\frac{1}{x+1}-\frac{1}{（2x+1）^{2}}$=$\frac{4x（x+\frac{3}{4}）}{（x+1）（2x+1）^{2}}$，（x$＞-1，x≠-\frac{1}{2}$）．
易知當$-\frac{3}{4}＜x＜0$且$x≠-\frac{1}{2}$時，f′（x）＜0；當x＞0或$-1＜x＜-\frac{3}{4}$時，f′（x）＞0．
故函數f（x）在$[-\frac{3}{4}，-\frac{1}{2}），（-\frac{1}{2}，0）$上遞減，在$（-1，-\frac{3}{4}），[0，+∞）$上遞增．
（2）原式可化為：$ln\frac{2a}+\frac{2a}≥1$，（a＞0，b＞0）．
令$x=\frac{2a}＞0$，則令g（x）=$lnx+\frac{1}{x}$，x＞0．
因為g$′（x）=\frac{1}{x}-\frac{1}{{x}^{2}}=\frac{x-1}{{x}^{2}}$，當0＜x＜1時，g′（x）＜0，當x＞1時，g′（x）＞0．
所以g（x）在（0，1）上遞減，在[1，+∞）上遞增，
所以g（x）_min=g（1）=1．
所以g（x）≥1在（0，+∞）上恒成立．
故原式成立．

點評 本題考查了利用導數研究函數的單調性，以及結合單調性證明不等式恒成立問題的思路，屬于基礎題型．