Question

1．C是曲線y=$\sqrt{1-{x^2}}$（-1≤x≤0）上一點，CD垂直于y軸，D是垂足，點A的坐標(biāo)是（-1，0）．設(shè)∠CAO=θ（其中O表示原點），將AC+CD表示成關(guān)于θ的函數(shù)f（θ），則f（θ）=2cosθ-cos2θ，θ∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$），f（θ）的最大值為$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 由題意作出圖形，再連結(jié)CO，從而可得點C的坐標(biāo)為（-cos（180°-2θ），sin（180°-2θ））；從而化簡可得f（θ）=2cosθ-cos2θ，θ∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$）；再由二倍角公式化簡為二次函數(shù)的形式，從而求最大值．

解答 解：如右圖，連結(jié)CO，
由圖可知，θ∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$），
∵∠CAO=θ，
∴∠COA=180°-2θ，
∴點C的坐標(biāo)為（-cos（180°-2θ），sin（180°-2θ））；
即點C的坐標(biāo)為（cos2θ，sin2θ）；
∴AC=$\sqrt{（cos2θ+1）^{2}+si{n}^{2}2θ}$
=$\sqrt{2（1+cos2θ）}$
=2|cosθ|
=2cosθ，
CD=|cos2θ|=-cos2θ，
故f（θ）=2cosθ-cos2θ，θ∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$）；
f（θ）=2cosθ-cos2θ
=-2cos²θ+2cosθ+1
=-2（cosθ-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{2}$，
故當(dāng)cosθ=$\frac{1}{2}$，即θ=$\frac{π}{3}$時，
f（θ）有最大值$\frac{3}{2}$．
故答案為：2cosθ-cos2θ，θ∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$）；$\frac{3}{2}$．

點評 本題考查了三角函數(shù)的性質(zhì)與應(yīng)用及三角恒等變換的應(yīng)用，同時考查了函數(shù)的最值的求法，屬于中檔題．