Question

16．如圖△ABC是圓O的內(nèi)接三角形，PA是圓O的切線(xiàn)，A為切點(diǎn)，PB交AC于點(diǎn)E，交圓O于點(diǎn)D，若PE=PA，∠ABC=45°，且PD=2，BD=6，則AC=5$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由PDB為圓O的割線(xiàn)，PA為圓的切線(xiàn)，由切割線(xiàn)定理，結(jié)合PD=2，BD=6易得PA長(zhǎng)，由∠ABC=45°結(jié)合弦切角定理，根據(jù)PE長(zhǎng)求出AE長(zhǎng)及ED，DB長(zhǎng)，再根據(jù)相交弦定理可求出CE，進(jìn)而得到答案．

解答 解：∵PD=2，BD=6，∴PB=PD+BD=8，
由切割線(xiàn)定理得PA²=PD•PB=16，
∴PA=4，
又∵PE=PA，∴PE=4，
又∠PAC=∠ABC=45°，
∴AE=4$\sqrt{2}$，
又DE=PE-PD=2，BE=BD-DE=4，
由相交弦定理可得：AE•CE=BE•ED=8，
∴CE=$\sqrt{2}$，
∴AC=AE+CE=5$\sqrt{2}$，
故答案：$5\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是與圓相關(guān)的比例線(xiàn)段，根據(jù)已知條件求出與圓相關(guān)線(xiàn)段的長(zhǎng)，構(gòu)造方程組，求出未知線(xiàn)段是解答的關(guān)鍵．