Question

14．已知矩陣$M=（{\begin{array}{l}1&a\\ 0&b\end{array}}）$，其中a，b∈R．若點(diǎn)P（1，-2）在矩陣M的變換下得到點(diǎn)P′（-1，-4）．
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)a，b的值；
（Ⅱ）若$\overrightarrow a=（{\begin{array}{l}2\\ 1\end{array}}）$，求M¹⁰$\overrightarrow a$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過(guò)$（{\begin{array}{l}1&a\\ 0&b\end{array}}）$$（{\begin{array}{l}1\\{-2}\end{array}}）$=$（{\begin{array}{l}{-1}\\{-4}\end{array}}）$計(jì)算即可；
（Ⅱ）令特征多項(xiàng)式$f（λ）=|{\begin{array}{l}{λ-1}&{-1}\\ 0&{λ-2}\end{array}}|$=0，可得特征值λ₁=1，λ₂=2，進(jìn)而可得對(duì)應(yīng)的特征向量，計(jì)算即得結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）由$（{\begin{array}{l}1&a\\ 0&b\end{array}}）$$（{\begin{array}{l}1\\{-2}\end{array}}）$=$（{\begin{array}{l}{-1}\\{-4}\end{array}}）$，得$\left\{{\begin{array}{l}{1-2a=-1}\\{-2b=-4}\end{array}}\right.$，
∴$\left\{{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=2}\end{array}}\right.$；
（Ⅱ）由（I）知$M=（{\begin{array}{l}1&1\\ 0&2\end{array}}）$．
令$f（λ）=|{\begin{array}{l}{λ-1}&{-1}\\ 0&{λ-2}\end{array}}|$=（λ-1）（λ-2）=0，
解得λ₁=1，λ₂=2．
屬于λ₁=1的一個(gè)特征向量$\overrightarrow{e_1}=（{\begin{array}{l}1\\ 0\end{array}}）$，
屬于λ₂=2的一個(gè)特征向量$\overrightarrow{e_2}=（{\begin{array}{l}1\\ 1\end{array}}）$，
∴$\overrightarrow a=\overrightarrow{e_1}+\overrightarrow{e_2}$．
∴${M^{10}}\overrightarrow a={M^{10}}（{\overrightarrow{e_1}+\overrightarrow{e_2}}）$
=${λ_1}^{10}\overrightarrow{e_1}+{λ_2}^{10}\overrightarrow{e_2}$
=$（{\begin{array}{l}1\\ 0\end{array}}）+{2^{10}}（{\begin{array}{l}1\\ 1\end{array}}）=（{\begin{array}{l}{1025}\\{1024}\end{array}}）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查矩陣變換，注意解題方法的積累，屬于中檔題．