Question

6．在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．已知直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)P（1，0），斜率為$\sqrt{3}$，曲線(xiàn)C：ρ=ρcos2θ+8cosθ．
（Ⅰ）寫(xiě)出直線(xiàn)l的一個(gè)參數(shù)方程及曲線(xiàn)C的直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）若直線(xiàn)l與曲線(xiàn)C交于A，B兩點(diǎn)，求|PA|•|PB|的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由于直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)P（1，0），斜率為$\sqrt{3}$，即可得出直線(xiàn)l的一個(gè)參數(shù)方程；由ρ=ρcos2θ+8cosθ，化為（ρsinθ）²=4ρcosθ，利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$即可得出直角坐標(biāo)方程．
（Ⅱ） 把$\left\{\begin{array}{l}x=1+\frac{1}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}\right.$代入y²=4x整理得：3t²-8t-16=0，利用根與系數(shù)的關(guān)系、直線(xiàn)參數(shù)的意義即可得出．

解答 解：（Ⅰ）∵直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)P（1，0），斜率為$\sqrt{3}$，
∴直線(xiàn)l的一個(gè)參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=1+\frac{1}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}\right.$（t為參數(shù)）；
∵ρ=ρcos2θ+8cosθ，∴ρ（1-cos2θ）=8cosθ，即得（ρsinθ）²=4ρcosθ，
∴y²=4x，∴曲線(xiàn)C的直角坐標(biāo)方程為y²=4x．
（Ⅱ） 把$\left\{\begin{array}{l}x=1+\frac{1}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}\right.$代入y²=4x整理得：3t²-8t-16=0，
設(shè)點(diǎn)A，B對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t₁，t₂，則${t_1}{t_2}=-\frac{16}{3}$，
∴$|{PA}|•|{PB}|=|{{t_1}{t_2}}|=\frac{16}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線(xiàn)參數(shù)方程及其應(yīng)用、極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．