Question

3．函數f（x）=sinx+tanx，則使不等式f（sinθ）+f（cosθ）≥0成立的θ取值范圍是（　�。�

• A． [2kπ+$\frac{π}{4}$，2kπ+$\frac{5π}{4}$]（k∈Z）
• B． [2kπ-$\frac{3π}{4}$，2kπ+$\frac{π}{4}$]（k∈Z）
• C． [2kπ-$\frac{π}{4}$，2kπ+$\frac{3π}{4}$]（k∈Z）
• D． [2kπ+$\frac{3π}{4}$，2kπ+$\frac{7π}{4}$]（k∈Z）

Answer 1

分析 由函數f（x）=sinx+tanx是奇函數，且在（$-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}$）上為增函數，把不等式f（sinθ）+f（cosθ）≥0轉化為sinθ+cosθ≥0，然后求解三角不等式得答案．

解答 解：∵-1≤sinθ≤1，-1≤cosθ≤1，
而當-$\frac{π}{2}$＜x＜$\frac{π}{2}$時，函數f（x）=sinx+tanx是增函數，且函數f（x）=sinx+tanx是奇函數，
∴由不等式f（sinθ）+f（cosθ）≥0，得f（sinθ）≥-f（cosθ）=f（-cosθ），
即sinθ≥-cosθ，
∴sinθ+cosθ≥0，
∴sin（θ+$\frac{π}{4}$）≥0，
則2kπ≤$θ+\frac{π}{4}$≤2kπ+π，k∈Z．
解得：2kπ-$\frac{π}{4}$≤θ≤2kπ+$\frac{3π}{4}$，k∈Z．
∴使不等式f（sinθ）+f（cosθ）≥0成立的θ取值范圍是[2kπ-$\frac{π}{4}$，2kπ+$\frac{3π}{4}$]（k∈Z）．
故選：C．

點評 本題考查三角函數的性質，考查了三角不等式的解法，體現了數學轉化思想方法，是中檔題．