Question

1．已知$\overrightarrow{a}$=（1，1），$\overrightarrow$=（x，y），則$\overrightarrow$與$\overrightarrow$-$\overrightarrow{a}$的夾角為$\frac{π}{4}$，則|$\overrightarrow$-$\overrightarrow{a}$|的最大值為2．

Answer 1

分析 可作圖：設A（1，1），從而$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}$，可作$\overrightarrow{OB}=\overrightarrow$，從而$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow-\overrightarrow{a}$，根據條件便可得到$∠B=\frac{π}{4}，OA=\sqrt{2}$，這樣在△AOB中，由正弦定理即可得出AB=2sin∠AOB，從而可以得出AB的最大值，即得出$|\overrightarrow-\overrightarrow{a}|$的最大值．

解答 解：如圖，設A（1，1），連接OA，則$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}$，作$\overrightarrow{OB}=\overrightarrow$，則$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow-\overrightarrow{a}$；
∵$\overrightarrow$與$\overrightarrow-\overrightarrow{a}$的夾角為$\frac{π}{4}$；
∴$∠B=\frac{π}{4}$，且OA=$\sqrt{2}$；
∴在△AOB中，由正弦定理得，$\frac{AB}{sin∠AOB}=\frac{OA}{sinB}$；
∴$AB=\frac{\sqrt{2}}{sin\frac{π}{4}}•sin∠AOB=2sin∠AOB≤2$，當且僅當$∠AOB=\frac{π}{2}$時取“=”；
∴AB的最大值為2，即$|\overrightarrow-\overrightarrow{a}|$的最大值為2．
故答案為：2．

點評 考查根據點的坐標求向量的坐標，兩點間的距離公式，向量夾角的概念，以及正弦定理，正弦函數(shù)的值域．