Question

11．已知數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正數(shù)，且滿足2a_n+1+$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=a_n$+\frac{2}{{a}_{n}}$（n∈N^*），且使得a₁=a₂₀₁₆成立的a₁的值是1．

Answer 1

分析 滿足2a_n+1+$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=a_n$+\frac{2}{{a}_{n}}$（n∈N^*），化為：（2a_n+1-a_n）$（1-\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}）$=0，可得${a}_{n+1}=\frac{1}{2}{a}_{n}$，或a_na_n+1=1，由${a}_{n+1}=\frac{1}{2}{a}_{n}$，可得數(shù)列{a_n}為單調(diào)數(shù)列，不可能有a₁=a₂₀₁₆成立，舍去．由a_na_n+1=1，可得a_n=a_n+2．使得a₁=a₂₀₁₆成立，可得a₁=a₂，即可得出．

解答 解：∵滿足2a_n+1+$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=a_n$+\frac{2}{{a}_{n}}$（n∈N^*），
化為：（2a_n+1-a_n）$（1-\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}）$=0，
可得${a}_{n+1}=\frac{1}{2}{a}_{n}$，或a_na_n+1=1，
由${a}_{n+1}=\frac{1}{2}{a}_{n}$，可得數(shù)列{a_n}為單調(diào)數(shù)列，不可能有a₁=a₂₀₁₆成立．
由a_na_n+1=1，可得a_n+1a_n+2=1，
∴a_n=a_n+2．
∴a₁=a₃=…，
a₂=a₄=…=a₂₀₁₆．
使得a₁=a₂₀₁₆成立，又a₁，a₂＞0，a₁a₂=1，
∴a₁=a₂，
解得a₁=1．
使得a₁=a₂₀₁₆成立的a₁的值是1．
故答案為：1．

點(diǎn)評 本題考查了遞推關(guān)系、數(shù)列的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．