Question

6．已知三棱錐P-ABC的各頂點(diǎn)在同一球面上，平面PAC⊥平面ABC，側(cè)棱PA=PC=$\sqrt{2}$，AB=BC=1，∠ABC=90°．則該球的表面積為（　�。�

• A． $\frac{8}{3}$π
• B． $\frac{8\sqrt{6}}{27}$π
• C． $\frac{16}{3}$π
• D． $\frac{32\sqrt{6}}{27}$π

Answer 1

分析 平面PAC⊥平面ABC，∠ABC=90°，可得球心O在平面PAC上，且在AC邊的高PO′上，利用△PAC為正三角形且邊長為$\sqrt{2}$，可得PO′=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，利用勾股定理建立方程，求出R，即可求出三棱錐P-ABC的外接球的表面積．

解答 解：∵平面PAC⊥平面ABC，∠ABC=90°，
∴球心O在平面PAC上，且在AC邊的高PO′上
∵AB=BC=1，∠ABC=90°，
∴AC=$\sqrt{2}$，
∵PA=PC=$\sqrt{2}$，
∴△PAC為正三角形且邊長為$\sqrt{2}$，
∴PO′=$\frac{\sqrt{6}}{2}$
設(shè)三棱錐P-ABC的外接球的半徑為R，則R²=（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²+（$\frac{\sqrt{6}}{2}$-R）²，
∴R=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴三棱錐P-ABC的外接球的表面積為4πR²=$\frac{8}{3}$π．
故選：A．

點(diǎn)評 本題考查三棱錐P-ABC的外接球的表面積，考查學(xué)生的計算能力，確定球心的位置，求出三棱錐P-ABC的外接球的半徑是關(guān)鍵．