Question

15．已知圓C₁：x²+y²=9與圓C₂：（x-3）²+（y-4）²=r²（r＞0）相外切．
（1）若圓C₂關(guān)于直線(xiàn)l：$\frac{ax}{9}$-$\frac{by}{12}$=1對(duì)稱(chēng)，求由點(diǎn)M（a，b）向圓C₂所作的切線(xiàn)長(zhǎng)的最小值；
（2）若直線(xiàn)l₁過(guò)點(diǎn)A（1，0），與圓C₂相交于P、Q兩點(diǎn)．且S${\;}_{△{C}_{2}PQ}$=2求此時(shí)直線(xiàn)l₁的方程．

Answer 1

分析 （1）先求出r=2，a-b=3，再求由點(diǎn)M（a，b）向圓C₂所作的切線(xiàn)長(zhǎng)的最小值；
（2）求出圓心到直線(xiàn)的距離為$\frac{\sqrt{2}}{2}$×2=$\sqrt{2}$，即可求此時(shí)直線(xiàn)l₁的方程．

解答 解：∵圓C₁：x²+y²=9與圓C₂：（x-3）²+（y-4）²=r²（r＞0）相外切，
∴5=3+r，∴r=2．
∵圓C₂關(guān)于直線(xiàn)l：$\frac{ax}{9}$-$\frac{by}{12}$=1對(duì)稱(chēng)，
∴a-b=3，
由點(diǎn)M（a，b）向圓C₂所作的切線(xiàn)長(zhǎng)=$\sqrt{（a-3）^{3}+（b-4）^{2}-4}$=$\sqrt{2（b-2）^{2}+4}$，
∴b=2時(shí)，由點(diǎn)M（a，b）向圓C₂所作的切線(xiàn)長(zhǎng)的最小值為2；
（2）∵S${\;}_{△{C}_{2}PQ}$=2，
∴C₂P⊥C₂Q，
∴圓心到直線(xiàn)的距離為$\frac{\sqrt{2}}{2}$×2=$\sqrt{2}$，
設(shè)直線(xiàn)l的方程為y=k（x-1），即kx-y-k=0，
∴$\frac{|2k-4|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\sqrt{2}$，
∴k=1或7，
∴直線(xiàn)l的方程為x-y-1=0或7x-y-7=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線(xiàn)與圓的方程，考查直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．