Question

15．已知圓C₁：x²+y²=9與圓C₂：（x-3）²+（y-4）²=r²（r＞0）相外切．
（1）若圓C₂關(guān)于直線l：$\frac{ax}{9}$-$\frac{by}{12}$=1對稱，求由點M（a，b）向圓C₂所作的切線長的最小值；
（2）若直線l₁過點A（1，0），與圓C₂相交于P、Q兩點．且S${\;}_{△{C}_{2}PQ}$=2求此時直線l₁的方程．

Answer 1

分析 （1）先求出r=2，a-b=3，再求由點M（a，b）向圓C₂所作的切線長的最小值；
（2）求出圓心到直線的距離為$\frac{\sqrt{2}}{2}$×2=$\sqrt{2}$，即可求此時直線l₁的方程．

解答 解：∵圓C₁：x²+y²=9與圓C₂：（x-3）²+（y-4）²=r²（r＞0）相外切，
∴5=3+r，∴r=2．
∵圓C₂關(guān)于直線l：$\frac{ax}{9}$-$\frac{by}{12}$=1對稱，
∴a-b=3，
由點M（a，b）向圓C₂所作的切線長=$\sqrt{（a-3）^{3}+（b-4）^{2}-4}$=$\sqrt{2（b-2）^{2}+4}$，
∴b=2時，由點M（a，b）向圓C₂所作的切線長的最小值為2；
（2）∵S${\;}_{△{C}_{2}PQ}$=2，
∴C₂P⊥C₂Q，
∴圓心到直線的距離為$\frac{\sqrt{2}}{2}$×2=$\sqrt{2}$，
設(shè)直線l的方程為y=k（x-1），即kx-y-k=0，
∴$\frac{|2k-4|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\sqrt{2}$，
∴k=1或7，
∴直線l的方程為x-y-1=0或7x-y-7=0．

點評 本題考查直線與圓的方程，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．