Question

6．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)為F₂（1，0），點(diǎn)H（3，0）在橢圓上
（1）求橢圓的方程；
（2）點(diǎn)M在圓x²+y²=b²上，且M在第一象限，過M作圓x²+y²=b²的切線交橢圓于P，Q兩點(diǎn)，求證：△PF₂Q的周長是定值．

Answer 1

分析 （1）由題意可得c=1，a=3，由a，b，c的關(guān)系，可得b，進(jìn)而得到橢圓方程；
（2）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），分別求出|F₂P|，|F₂Q|，結(jié)合相切的條件可得|PM|²=|OP|²-|OM|²求出|PQ|，可得結(jié)論．

解答 解：（1）由題意可得c=1，a=3，

即有b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
則橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{8}$=1；
（2）證明：設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{9}$+$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{8}$=1（|x₁|≤3）
∴|PF₂|²=（x₁-1）²+y₁²=$\frac{1}{9}$（x₁-9）²，
∴|PF₂|=3-$\frac{1}{3}$x₁，
連接OM，OP，由相切條件知：
|PM|²=|OP|²-|OM|²=x₁²+y₁²-8=$\frac{1}{9}$x₁²，
∴|PM|=$\frac{1}{3}$x₁，
∴|PF₂|+|PM|=3，
同理可求|QF₂|+|QM|=3，
∴|F₂P|+|F₂Q|+|PQ|=6．
即有△PF₂Q的周長為定值6．

點(diǎn)評 本題考查的知識點(diǎn)是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和性質(zhì)，直線與圓的位置關(guān)系，直線與橢圓的位置關(guān)系，熟練掌握橢圓的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．