Question

20．如圖所示的平面圖形是邊長為8的正三角形，沿三邊中點連線向同一方向折成一個多面體．
（1）請畫出沿虛線折起拼接后的多面體，并寫出它的名稱；
（2）求該多面體側(cè)面與底面所成二面角的余弦值；
（3）求該多面體的表面積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)正四面體的定義可得沿虛線折起拼接后的多面體為正四面體；
（2）作出多面體側(cè)面與底面所成二面角的平面角，進行求解即可；
（3）根據(jù)正四面體的表面積公式進行求解即可求該多面體的表面積．

解答 解：（1）沿虛線折起拼接后的多面體為正四面體，對應的直觀圖為
（2）∵正三角形的邊長是8，
∴正四面體的棱長為4，
過V作VO⊥底面ABC，連接AO延長交BC于D，則D是BC的中點，連接VD，
則∠VDO是側(cè)面與底面所成二面角的平面角，
則BD=2，AD=$\sqrt{A{B}^{2}-B{D}^{2}}=\sqrt{16-4}$=$\sqrt{12}$=2$\sqrt{3}$，
則OD=$\frac{1}{3}$AD=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，VD=AD=2$\sqrt{3}$，
則在直角三角形VOD中，cos∠VDO=$\frac{OD}{VD}$=$\frac{\frac{2\sqrt{3}}{3}}{2\sqrt{3}}$=$\frac{1}{3}$
即該多面體側(cè)面與底面所成二面角的余弦值是$\frac{1}{3}$；
（3）∵正四面體的各個面是邊長為4的正三角形，
∴該多面體的表面積S=4S_△ABC=4×$\frac{1}{2}$×$4×2\sqrt{3}$=16$\sqrt{3}$．

點評 本題主要考查空間幾何體的直觀圖的畫法以及空間二面角的求解和三棱錐表面積的計算，考查學生的計算能力．