Question

17．設(shè)函數(shù)f（x）=ax²+lnx．
（1）當(dāng)a=-1時(shí)，求函數(shù)y=f（x）的圖象在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（2）已知a＜0，若在定義域內(nèi)f（x）+$\frac{1}{2}$≤0恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得切線的斜率，進(jìn)而得到切線的方程；（2）問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)f（x）max≤-$\frac{1}{2}$-即可解出．

解答 解：（1）當(dāng)a=-1時(shí)，由f（x）=-x²+lnx，
可得f′（x）=-2x+$\frac{1}{x}$，
∴f′（1）=-1，∴切線的斜率為-1．
又f（1）=-1，∴切點(diǎn)為（1，-1）．
故所求的切線方程為：y+1=-（x-1），即x+y=0．
（2）f′（x）=2ax+$\frac{1}{x}$=$\frac{2{ax}^{2}+1}{x}$=$\frac{2a{（x}^{2}+\frac{1}{x}）}{x}$，x＞0，a＜0．
令f′（x）=0，則x=$\sqrt{-\frac{1}{2a}}$．
當(dāng)x∈（0，$\sqrt{-\frac{1}{2a}}$]時(shí)，f′（x）＞0；當(dāng)x∈（$\sqrt{-\frac{1}{2a}}$，+∞）時(shí)，f′（x）＜0．
故x=$\sqrt{-\frac{1}{2a}}$為函數(shù)f（x）的唯一極大值點(diǎn)，
∴f（x）的最大值為f（$\sqrt{-\frac{1}{2a}}$）=-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$ln（-$\frac{1}{2a}$）．
由題意有-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$ln（-$\frac{1}{2a}$）≤-$\frac{1}{2}$，解得a≤-$\frac{1}{2}$．
∴a的取值范圍為（-∞，-$\frac{1}{2}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、恒成立問題的等價(jià)轉(zhuǎn)化問題等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于中檔題．