Question

2．設(shè)函數(shù)f（x）=$\frac{{x}^{2}-x+2}{{x}^{2}}$，若對x＞0恒有xf（x）+a＞0成立，則實數(shù)a的取值范圍是a＞1-2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 化簡可得xf（x）=x•$\frac{{x}^{2}-x+2}{{x}^{2}}$=x+$\frac{2}{x}$-1，從而利用基本不等式求最值，即可解決恒成立問題．

解答 解：∵f（x）=$\frac{{x}^{2}-x+2}{{x}^{2}}$，
∴當(dāng)x＞0時，xf（x）=x•$\frac{{x}^{2}-x+2}{{x}^{2}}$=x+$\frac{2}{x}$-1≥2$\sqrt{2}$-1（當(dāng)且僅當(dāng)x=$\frac{2}{x}$，即x=$\sqrt{2}$時，等號成立），
∴2$\sqrt{2}$-1+a＞0，
∴a＞1-2$\sqrt{2}$，
故答案為a＞1-2$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了函數(shù)的化簡與應(yīng)用，同時考查了基本不等式在求最值的應(yīng)用及恒成立問題．