Question

7．已知圓C：（x-3）²+（y-4）²=1和兩點A（-m，0），B（m，0）（m＞0），若圓C上存在點P，使得∠APB=90°，則m的最大值與最小值之和為（　�。�

• A． 12
• B． 11
• C． 10
• D． 9

Answer 1

分析 C：（x-3）²+（y-4）²=1的圓心C（3，4），半徑r=1，設(shè)P（a，b）在圓C上，則$\overrightarrow{AP}$=（a+m，b），$\overrightarrow{BP}$=（a-m，b），由已知得m²=a²+b²=|OP|²，m的最大值、最小值即為|OP|的最大值、最小值，即可得出結(jié)論．

解答 解：圓C：（x-3）²+（y-4）²=1的圓心C（3，4），半徑r=1，
設(shè)P（a，b）在圓C上，則$\overrightarrow{AP}$=（a+m，b），$\overrightarrow{BP}$=（a-m，b），
∵∠APB=90°，∴$\overrightarrow{AP}$⊥$\overrightarrow{BP}$，
∴$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{BP}$=（a+m）（a-m）+b²=0，
∴m²=a²+b²=|OP|²，
∴m的最大值即為|OP|的最大值，等于|OC|+r=5+1=6，最小值為5-1=4．
∴m的最大值與最小值之和為10
故選C．

點評 本題考查實數(shù)的最大值、最小值的求法，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查向量知識的運用，是中檔題．