Question

10．考察下列各式
2=2×1
3×4=4×1×3
4×5×6=8×1×3×5
5×6×7×8=16×1×3×5×7
你能做出什么一般性的猜想？能證明你的猜想嗎？

Answer 1

分析 根據(jù)所給的等式歸納出左邊、右邊的規(guī)律，按照此規(guī)律猜想出一般性的結(jié)論，再利用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明即可．

解答 解：由題意得，2=2×1，3×4=4×1×3，4×5×6=8×1×3×5，
5×6×7×8=16×1×3×5×7，…
猜想：（n+1）（n+2）（n+3）…2n=2ⁿ×1×3×5…（2n-1），
下面利用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明，
證明：（1）當(dāng)n=1時(shí)，顯然成立；
（2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)等式成立，即（k+1）（k+2）（k+3）…2k=2^k×1×3×5…（2k-1），
那么當(dāng)n=k+1時(shí)，（k+1+1）（k+1+2）（k+1+3）…2（k+1）
=$（{k+1}）\frac{{（{k+1+1}）（{k+1+2}）（{k+1+3}）…2k（{2k+1}）2（{k+1}）}}{k+1}$
=$\frac{{{2^k}×1×3×5…（{2k-1}）（{2k+1}）2（{k+1}）}}{k+1}$
=2^k+1×1×3×5…[2（k+1）-1]
所以當(dāng)n=k+1時(shí)等式成立．
根據(jù)（1）（2）可知對任意正整數(shù)等式均成立．

點(diǎn)評 本題考查了歸納推理，以及數(shù)學(xué)歸納法證明與正整數(shù)有關(guān)的結(jié)論，歸納推理的一般步驟是：（1）通過觀察個(gè)別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì)；（2）從已知的相同性質(zhì)中推出一個(gè)明確表達(dá)的一般性命題（猜想），屬于中檔題．