Question

12．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{e}^{x}，x≤1}\\{f（x-1），x＞1}\end{array}\right.$若方程f（x）-kx=1有兩個(gè)不同實(shí)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為（　�。�

• A． （$\frac{e-1}{3}$，e）
• B． （$\frac{e-1}{2}$，1）∪（1，e-1]
• C． （$\frac{e-1}{3}$，1）∪（1，e）
• D． （$\frac{e-1}{2}$，e-1]

Answer 1

分析 方程f（x）-kx=1有兩個(gè)不同實(shí)根可化為函數(shù)f（x）與函數(shù)y=kx+1有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，作函數(shù)f（x）與函數(shù)y=kx+1的圖象，結(jié)合函數(shù)的圖象求解．

解答 解：方程f（x）-kx=1有兩個(gè)不同實(shí)根可化為
函數(shù)f（x）與函數(shù)y=kx+1有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，
當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）=f（x-1），周期性變化；
函數(shù)y=kx+1的圖象恒過(guò)點(diǎn)（0，1）；
作函數(shù)f（x）與函數(shù)y=kx+1的圖象如下，

C（0，1），B（2，e），A（1，e）；
故k_AC=e-1，k_BC=$\frac{e-1}{2}$；
在點(diǎn)C處的切線的斜率k=e⁰=1；
結(jié)合圖象可得，
實(shí)數(shù)k的取值范圍為
（$\frac{e-1}{2}$，1）∪（1，e-1]；
故選B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了方程的根與函數(shù)的圖象之間的關(guān)系應(yīng)用及學(xué)生的作圖能力，同時(shí)考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用，屬于中檔題．