Question

函數(shù)，其中為實常數(shù)。

（1）討論的單調性；

（2）不等式在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍；

（3）若，設，。是否存在實常數(shù)，既使又使對一切恒成立？若存在，試找出的一個值，并證明；若不存在，說明理由。

Answer 1

解：（1）定義域為，

①當時，，在定義域上單增；

②當時，當時，，單增；當時，，單減。

增區(qū)間：，減區(qū)間：。

綜上可知：當時，增區(qū)間，無減區(qū)間；當時，增區(qū)間：，減區(qū)間：。

（2）對任意恒成立

，令，

，在上單增，

，，故的取值范圍為。

（3）存在，如等。下面證明：

及成立。

①先證，注意，

這只要證（*）即可，

容易證明對恒成立(這里證略)，取即可得上式成立。

讓分別代入（*）式再相加即證：，

于是。

②再證，

法一：

只須證，構造證明函數(shù)不等式：，

令，，當時，

在上單調遞減,又當時，恒有，即恒成立。

，取，則有，

讓分別代入上式再相加即證：

，

即證。

法二：，

，

又故不等式成立。

（注意：此題也可用數(shù)學歸納法！）