Question

17．如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為6，∠BAD=60°，AC∩BD=O，將菱形ABCD沿對(duì)角線AC折起得三棱錐，點(diǎn)M是棱BC的中點(diǎn)，DM=3$\sqrt{2}$．
（1）求證：平面ABC⊥平面MDO；
（2）求三棱錐M-ABD的體積．

Answer 1

分析 （1）由菱形的性質(zhì)計(jì)算OM，OD，根據(jù)勾股定理得逆定理得出OD⊥OM，又OD⊥AC，故OD⊥平面ABC，于是平面ABC⊥平面MDO；
（2）V_M-ABD=V_D-ABM．代入棱錐的體積公式計(jì)算即可．

解答 解：（1）∵四邊形ABCD是菱形，∠BAD=60°，
∴OD⊥AC，OB⊥OC，BD=AB=6，
∵M(jìn)是BC的中點(diǎn)，
∴OM=$\frac{1}{2}BC$=3，OD=3，
∵DM=3$\sqrt{2}$，
∴OD²+OM²=DM²，
∴OD⊥OM，
∵OM?平面ABC，AC?平面ABC，OM∩AC=O，
∴OD⊥平面ABC，∵OD?平面MDO，
∴平面ODM⊥平面ABC．
（2）由（Ⅰ）知 OD⊥平面ABC，且OD=3，
∴V_M-ABD=V_D-ABM=$\frac{1}{3}$S_△ABM•OD=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}$AB•BM•sin∠ABM•OD
=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×6×3×\frac{\sqrt{3}}{2}×3$
=$\frac{9\sqrt{3}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了面面垂直的判定，線面垂直的判定，棱錐的體積計(jì)算，屬于中檔題．