Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=loga（ +x）（其中a＞1）．
（1）判斷函數(shù)y=f（x）的奇偶性，并說明理由；
（2）判斷 （其中m，n∈R，且m+n≠0）的正負(fù)，并說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：函數(shù)y=f（x）是奇函數(shù)，理由如下：

因?yàn)? ，所以函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)镽．

又因?yàn)? ，

所以函數(shù)y=f（x）是奇函數(shù)

（2）解： ，理由如下：

任取0≤x1＜x2，設(shè) ，

則 ，故0＜u1＜u2，從而 ．

因?yàn)閍＞1，所以 ，

故 在[0，+∞）上單調(diào)遞增．

又因?yàn)? 為奇函數(shù)，

所以f（﹣n）=﹣f（n），且 在（﹣∞，+∞）上單調(diào)遞增．

所以m+n=m﹣（﹣n）與f（m）+f（n）=f（m）﹣f（﹣n）同號(hào)，即

【解析】（1）函數(shù)y=f（x）是奇函數(shù)，理由如下：結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和函數(shù)奇偶性的定義，可證明；（2） ，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，可進(jìn)行判斷．
【考點(diǎn)精析】利用函數(shù)的奇偶性對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．