Question

16．設a為實數(shù)，函數(shù)f（x）=x²+|x-a|+1，x∈R．
（1）討論f（x）的奇偶性；
（2）求f（x）的最小值．

Answer 1

分析 （1）對于函數(shù) f（x）=x²+|x-a|+1，分當a=0時、和當a≠0時兩種情況，分別討論f（x）的奇偶性；
（2）當x≤a時，f（x）=x²-x+a+1=（x-$\frac{1}{2}$）²+a+$\frac{3}{4}$，分a＞$\frac{1}{2}$時和a≤$\frac{1}{2}$時兩種情況，分別求得函數(shù)f（x）的最小值．②當x＞a 時，f（x）=x²+x-a+1=（x+$\frac{1}{2}$）²-a+$\frac{3}{4}$，分a＞-$\frac{1}{2}$時和當a≤-$\frac{1}{2}$時兩種情況，分別求得函數(shù)f（x）的最小值．

解答 解：（1）對于函數(shù) f（x）=x²+|x-a|+1，
當a=0時，f（x）=x²+|x|+1為偶函數(shù)，
當a≠0時，f（x）=x²+|x|+1為非奇非偶函數(shù)．
（2）①當x≤a時，f（x）=x²-x+a+1=（x-$\frac{1}{2}$）²+a+$\frac{3}{4}$，
若a＞$\frac{1}{2}$時，函數(shù)f（x）的最小值為f（$\frac{1}{2}$）=a+$\frac{3}{4}$；
若a≤$\frac{1}{2}$時，函數(shù)f（x）的最小值為f（a）=a²+1．
②當x＞a 時，f（x）=x²+x-a+1=（x+$\frac{1}{2}$）²-a+$\frac{3}{4}$，
若a＞-$\frac{1}{2}$時，函數(shù)f（x）的最小值為f（a）=a²+1；
若a≤-$\frac{1}{2}$時，函數(shù)f（x）的最小值為f（-$\frac{1}{2}$）=-a+$\frac{3}{4}$．
由a²+1＞a+$\frac{3}{4}$，a²+1＞-a+$\frac{3}{4}$，
綜上可得，a＞$\frac{1}{2}$時，函數(shù)f（x）的最小值為a+$\frac{3}{4}$；
a≤-$\frac{1}{2}$時，函數(shù)f（x）的最小值為-a+$\frac{3}{4}$；
當-$\frac{1}{2}$＜a≤$\frac{1}{2}$，函數(shù)f（x）的最小值為a²+1．

點評 本題主要考查帶有絕對值的函數(shù)，函數(shù)的奇偶性的判斷，求二次函數(shù)的最值，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學思想，屬于中檔題．