Question

11．已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD是矩形，側(cè)面PAD是等邊三角形，E為棱PD的中點(diǎn)
（Ⅰ）證明：PB∥平面AEC；
（Ⅱ）若側(cè)面PAD⊥底面ABCD，PB⊥AC，求二面角B-AC-E的大�。�

Answer 1

分析 （Ⅰ）連結(jié)BD，交AC于點(diǎn)F，連結(jié)EF，則EF∥PB，由此能證明PB∥平面AEC．
（Ⅱ）取AD中點(diǎn)O，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)A、OM、OP所在直線(xiàn)分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角B-AC-E的大小．

解答 證明：（Ⅰ）連結(jié)BD，交AC于點(diǎn)F，連結(jié)EF，
∵底面ABCD為矩形，∴F為BD中點(diǎn)，
又∵E為PD中點(diǎn)，∴EF∥PB，
∵PB?平面AEC，EF?平面AEC，
∴PB∥平面AEC．
解：（Ⅱ）取AD中點(diǎn)O，連結(jié)PO，則PO⊥AD，
又∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PO?平面PAD，
∴PO⊥平面ABCD，
∴取BC中點(diǎn)M，則OM⊥AD，
以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)A、OM、OP所在直線(xiàn)分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)OA=1，AB=m（m＞0），
則O（0，0，0），A（1，0，0），B（1，m，0），C（-1，m，0），D（-1，0，0），P（0，0，$\sqrt{3}$），E（-$\frac{1}{2}$，0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
∴$\overrightarrow{PB}$=（1，m，-$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{AC}$=（-2，m，0），
∵PB⊥AC，∴$\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{AC}$=-2+m²=0，
解得m=$\sqrt{2}$，
平面ABC的一個(gè)法向量$\overrightarrow{m}$=（0，0，1），
設(shè)平面ACE的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
∵$\overrightarrow{AC}$=（-2，$\sqrt{2}$，0），$\overrightarrow{AE}$=（-$\frac{3}{2}$，0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
∴$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{n}=-2x+\sqrt{2}y=0}\\{\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{n}=-\frac{3}{2}x+\frac{\sqrt{3}}{2}z=0}\end{array}\right.$，令x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，$\sqrt{2}，\sqrt{3}$），
∴cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵二面角B-AC-E為鈍二面角，
∴二面角B-AC-E的大小為135°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線(xiàn)面平行的證明，考查二面角的大小的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．