Question

17．拋物線C₁：y²=4x的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P為拋物線上一點(diǎn)，且|PF|=2，雙曲線C₂：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的漸近線恰好過P點(diǎn)，則雙曲線C₂的離心率為$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 利用拋物線的定義求出P的坐標(biāo)，根據(jù)雙曲線C₂：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的漸近線恰好過P點(diǎn)，可得$\frac{a}$=2，確定a，c的關(guān)系，即可求出雙曲線C₂的離心率．

解答 解：拋物線C₁：y²=4x的焦點(diǎn)為F（1，0）．
∵點(diǎn)P為拋物線上一點(diǎn)，且|PF|=2，
∴P（1，±2），
∵雙曲線C₂：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的漸近線恰好過P點(diǎn)，
∴$\frac{a}$=2，
∴b=2a，
∴c=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$=$\sqrt{5}$a，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{5}$．
故答案為：$\sqrt{5}$．

點(diǎn)評 本題考查雙曲線C₂的離心率，考查拋物線的方程與性質(zhì)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．