Question

如圖所示的“8”字形曲線是由兩個關于x軸對稱的半圓和一個雙曲線的一部分組成的圖形，其中上半個圓所在圓方程是x²+y²-4y-4=0，雙曲線的左、右頂
點A、B是該圓與x軸的交點，雙曲線與半圓相交于與x軸平行的直徑的兩端點．
（1）試求雙曲線的標準方程；
（2）記雙曲線的左、右焦點為F₁、F₂，試在“8”字形曲線上求點P，使得
∠F₁PF₂是直角．

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質,雙曲線的標準方程

專題：計算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）求出半圓的圓心和半徑，求得圓與x軸的交點，即有a=2，令y=2，解得交點，代入雙曲線方程，解得b，進而得到雙曲線的方程；
（2）求出焦點坐標，∠F₁PF₂是直角，則設P（x，y），則有x²+y²=8，聯(lián)立兩半圓的方程及雙曲線方程，解得交點，注意檢驗，即可得到所求的P的坐標．

解答： 解：（1）上半個圓所在圓方程是x²+y²-4y-4=0，則圓心為（0，2），半徑為2

2

．
則下半個圓所在圓的圓心為（0，-2），半徑為2

2

．
雙曲線的左、右頂點A、B是該圓與x軸的交點，即為（-2，0），（2，0），即a=2，
由于雙曲線與半圓相交于與x軸平行的直徑的兩端點，則令y=2，解得，x=±2

2

．
即有交點為（±2

2

，2）．
設雙曲線的方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），
則

8

a2

-

4

b2

=1，且a=2，解得，b=2．
則雙曲線的方程為

x2

4

-

y2

4

=1；
（2）雙曲線的左、右焦點為F₁（-2

2

，0），F₂（2

2

，0），
若∠F₁PF₂是直角，則設P（x，y），則有x²+y²=8，
由

x2+y2=8 x2-y2=4

解得，x²=6，y²=2．
由

x2+y2=8 x2+(y±2)2=8

解得，y=±1，不滿足題意，舍去．
故在“8”字形曲線上所求點P的坐標為（

6

，

2

），（-

6

，

2

），
（-

6

，-

2

），（

6

，-

2

）．

點評：本題考查雙曲線的方程的求法，考查圓與圓、雙曲線的位置關系，考查運算能力，屬于基礎題．