Question

已知函數(shù)f（x）=e^x，（x∈R）
（1）求f（x）在點(diǎn)（1，e）處的切線方程；
（2）證明：曲線y=f（x）與曲線y=

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x²+x+1有唯一公共點(diǎn)．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求f（x）在點(diǎn)（1，e）處的切線方程；
（2）構(gòu)造函數(shù)h（x）=f（x）-（ 

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2

x²+x+1）=e^x-

1

2

x²-x-1，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性即可證明：曲線y=f（x）與曲線y=

1

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x²+x+1有唯一公共點(diǎn)．

解答： 解：（1）函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x）=e^x，則f′（1）=e，
則f（x）點(diǎn)（1，e）處的切線方程為：y-e=e（x-1），
即y=ex．
（2）令h（x）=f（x）-（ 

1

2

x²+x+1）=e^x-

1

2

x²-x-1，
則h′（x）=e^x-x-1，
[h′（x）]′=e^x-1，且h（0）=0，h′（0）=0，[h′（0）]′=0，
因此，當(dāng)x＜0時(shí)，[h′（x）]′＜0，y=h′（x）單調(diào)遞減；
當(dāng)x＞0時(shí)，[h′（x）]′＞0，y=h′（x）單調(diào)遞增．
所以y=h′（x）≥h′（0）=0，
所以y=h（x）在R上單調(diào)遞增，
又h（0）=0，即函數(shù)h（x）有唯一零點(diǎn)，
故曲線y=f（x）與曲線y=

1

2

x²+x+1有唯一公共點(diǎn)（0，1）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的切線以及構(gòu)造函數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵．