Question

已知a＞0且a≠1.f(logax)=

a

a2-1

(x-x-1)
（1）求f（x）的解析式；
（2）判斷f（x）的奇偶性與單調性；
（3）對于f（x），當x∈（-2，2）時，f（1-m）+f（1-2m）＜0恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題,函數(shù)解析式的求解及常用方法,函數(shù)單調性的判斷與證明,函數(shù)奇偶性的判斷

專題：綜合題,函數(shù)的性質及應用

分析：（1）令log_a^x=t，則x=a^t，可求得f（t）=

a

a2-1

（a^t-a^-t），于是f（x）=

a

a2-1

（a^x-a^-x）；
（2）利用奇偶函數(shù)的定義知，f（-x）=-f（x），從而可知f（x）為奇函數(shù)，利用復合函數(shù)的單調性易判斷當a＞1與0＜a＜1時，f（x）均在R上是增函數(shù)，從而可判斷f（x）的單調性；
（3）利用函數(shù)f（x）為奇函數(shù)知，f（1-m）+f（1-2m）＜0?f（1-m）＜f（2m-1），由f（x）為（-2，2）上的增函數(shù)知，

1-m＜2m-1 -2＜1-m＜2 -2＜2m-1＜2

，解之即可．

解答： 解：（1）令log_a^x=t，則x=a^t，
∴f（t）=

a

a2-1

（a^t-a^-t），
∴f（x）=

a

a2-1

（a^x-a^-x）；
（2）∵f（x）的定義域為R，又f（-x）=

a

a2-1

（a^-x-a^x）=-f（x），
∴f（x）為奇函數(shù)，
當a＞1時，y=a^x在R上是增函數(shù)，y=a^-x在R上是減函數(shù)．
∴y=-a^-x在R上是增函數(shù)，
∴y=a^-x-a^x在R上是增函數(shù)，又

a

a2-1

＞0，
∴f（x）在R上是增函數(shù)．
當0＜a＜1時，同理可得f（x）在R上是增函數(shù)；
綜上所述，f（x）在R上是增函數(shù)．
（3）∵f（1-m）+f（1-2m）＜0，
∴f（1-m）＜-f（1-2m），
∵又f（x）為奇函數(shù)，
∴f（1-m）＜f（2m-1），
∵又f（x）在（-2，2）上是增函數(shù)．
∴

1-m＜2m-1 -2＜1-m＜2 -2＜2m-1＜2

，解得

2

3

＜m＜

3

2

．

點評：本題考查函數(shù)恒成立問題，著重考查函數(shù)奇偶性與單調性的判定與應用，考查等價轉化思想與方程思想、分類討論思想的綜合應用，屬于難題．