Question

已知圓心為C的圓方程是x²+y²-2y+m=0．
（1）如果圓C與直線y=0沒有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（2）如果圓C過坐標(biāo)原點(diǎn)，直線l過點(diǎn)P（0，a）（0≤a≤2），且與圓C交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)△ABC的面積最大時(shí)，求直線l的斜率k關(guān)于a的解析式k（a），并求k（a）的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓的位置關(guān)系

專題：直線與圓

分析：（1）根據(jù)條件可得方程x² +m=0無解，從而求得m的范圍．
（2）當(dāng)a=1時(shí)，△ABC不存在．設(shè)直線l的方程為y=kx+a，△ABC的面積為S，則S=

1

2

sin∠ACB，故當(dāng)sin∠ACB 最大值時(shí)，S最大．當(dāng)sin∠ACB 取最大值為1時(shí)，點(diǎn)C到直線l的距離為

2

2

，求得k關(guān)于a的解析式，以及a的范圍．再根據(jù)k關(guān)于a的解析式以及a的范圍，分類討論求得k的最大值．

解答： 解：（1）根據(jù)圓C方程是x²+y²-2y+m=0，由圓C與直線y=0沒有公共點(diǎn)，可得方程x² +m=0無解，故m＞0．
（2）由題意可得C（0，1），由圓C：x²+y²-2y+m=0過原點(diǎn)，可得m=0，圓C方程是x²+y²-2y=0，即x²+（y-1）² =1．
當(dāng)a=1時(shí)，△ABC不存在，故0＜a＜1，或1＜a≤2．
設(shè)直線l的方程為y=kx+a，△ABC的面積為S，則S=

1

2

CA•CB•sin∠ACB=

1

2

sin∠ACB，故當(dāng)sin∠ACB 最大值時(shí)，S最大．
當(dāng)sin∠ACB 取最大值為1時(shí)，點(diǎn)C到直線l的距離為

2

2

，即

|a-1|

k2+1

=

2

2

，化簡(jiǎn)可得k²=2（a-1）²-1≥0，
求得a≤1-

2

2

，或a≥1+

2

2

．
①當(dāng)a∈（0，1-

2

2

]∪[1+

2

2

，2]時(shí)，sin∠ACB 取最大值為1，當(dāng)a=2，或a=0時(shí)，k取得最大值為1．
②當(dāng)a∈（1-

2

2

，1）∪（1，1+

2

2

）時(shí)，∠ACB∈（

π

2

，π），故當(dāng)∠ACB最小時(shí)，sin∠ACB最大．
作CD⊥AB，則C為AB的中點(diǎn)，sin∠ACD=

CD

CA

=CD，故要使S最大，需CD最大，而CD≤CP，當(dāng)CD=CP時(shí)，AB垂直于y軸，此時(shí)k=0．
 綜上可得，k的最大值為1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線和圓相交的性質(zhì)，點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，直角三角形中的邊角關(guān)系，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．