Question

如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，AC∩BD=O．將正方形ABCD沿對(duì)角線BD折起，得到三棱錐A-BCD．

（1）求證：面AOC⊥面BCD；
（2）若∠AOC=60°，求三棱錐A-BCD的體積．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積,平面與平面垂直的判定

專(zhuān)題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）運(yùn)用直線與平面，平面與平面的垂直問(wèn)題求解判斷．（2）轉(zhuǎn)化V_A-BCD=2V_D-ACO，運(yùn)用體積公式求解即可．

解答： 解：（1）證明：因?yàn)锳C、BD是正方形
ABCD的對(duì)角線，所以AC⊥BD．
故在折疊后的△ABD和△BCD中，有
BD⊥AO，BD⊥CO．
又AO∩CO=O，所以BD⊥平面AOC．
因?yàn)锽D?平面BCD，所以平面AOC⊥
平面BCD．
（2）∵BD⊥AO，BD⊥CO．
又AO∩CO=O，所以BD⊥平面AOC．
∵∠AOC=60°，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2
∴S_△ACO=

3

4

×（

2

）²=

3

2

，OD=

2

，
∴V_A-BCD=2V_D-ACO=2×

1

3

×

3

2

×

2

=

6

3

，
故棱錐A-BCD的體積為：

6

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了平面圖形的折疊問(wèn)題，空間幾何題的體積面積問(wèn)題，屬于中檔題．