Question

若x＞4，求證：2^x＞x²．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,導數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用

專題：導數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：欲證2^x＞x²，只需證xln2＞2lnx．構(gòu)造函數(shù)f（x）=xln2-2lnx，利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，繼而得以證明

解答： 證明：欲證2^x＞x²，只需證xln2＞2lnx．
令f（x）=xln2-2lnx       
則f′（x）=ln2-

2

x

，
∵x＞4，
∴f′（4）=ln2-

1

2

=

2ln2-1

2

=

1

2

（ln4-lne）＞0，
∴f′（x）＞0
∴函數(shù)在（4，+∞）上單調(diào)遞增           
∴f（x）＞f（4）=4ln2-2ln4=0，
即xln2＞2lnx，
∴2^x＞x²．

點評：本題主要考查了導數(shù)的應(yīng)用，關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性解決，屬于中檔題