Question

12．在數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a₂=m（m≠-1），前n項(xiàng)和S_n滿足$\frac{1}{S_n}=\frac{1}{a_n}-\frac{1}{{{a_{n+1}}}}（n≥2）$．
（1）求a₃（用m表示）；
（2）求證：數(shù)列{S_n}是等比數(shù)列；
（3）若m=1，現(xiàn)按如下方法構(gòu)造項(xiàng)數(shù)為2k的有窮數(shù)列{b_n}：當(dāng)n=1，2，…，k時，b_n=a_2k-n+1；當(dāng)n=k+1，k+2，…，2k時，b_n=a_na_n+1，記數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n，試問：$\frac{{{T_{2k}}}}{T_k}$是否能取整數(shù)？若能，請求出k的取值集合；若不能，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用遞推關(guān)系式，令n=2，通過a₁=1，a₂=m，求出a₃即可．
（2）遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為：$\frac{1}{S_n}=\frac{1}{{{S_n}-{S_{n-1}}}}-\frac{1}{{{S_{n+1}}-{S_n}}}$，化簡推出數(shù)列{S_n}是等比數(shù)列．
（3）由m=1，求出S₁=1，S₂=2，求出${S_n}={2^{n-1}}$，得到通項(xiàng)公式，然后求解$\frac{{{T_{2k}}}}{T_k}$的分母與分子，討論要使$\frac{{{T_{2k}}}}{T_k}$取整數(shù)，需$\frac{{{2^k}+1}}{3}$為整數(shù)，推出k的取值集合為{k|k=2n-1，n∈Z^*}時，$\frac{{{T_{2k}}}}{T_k}$取整數(shù)．

解答 解：（1）令n=2，則$\frac{1}{S_2}=\frac{1}{a_2}-\frac{1}{a_3}$，將a₁=1，a₂=m代入，有$\frac{1}{1+m}=\frac{1}{m}-\frac{1}{a_3}$，
解得${a_3}={m^2}+m$…（5分）
（2）由$\frac{1}{S_n}=\frac{1}{a_n}-\frac{1}{{{a_{n+1}}}}（n≥2）$，得$\frac{1}{S_n}=\frac{1}{{{S_n}-{S_{n-1}}}}-\frac{1}{{{S_{n+1}}-{S_n}}}$，化簡得${S_n}^2={S_{n-1}}{S_{n+1}}$，
又S_n≠0，∴數(shù)列{S_n}是等比數(shù)列…（10分）
（3）由m=1，∴S₁=1，S₂=2，又?jǐn)?shù)列{S_n}是等比數(shù)列，∴${S_n}={2^{n-1}}$，
∴${a_n}={S_n}-{S_{n-1}}={2^{n-1}}-{2^{n-2}}={2^{n-2}}（n≥2）$，
當(dāng)n=1，2，…，k時，b_n依次為a_2k，a_2k-1，…，a_k+1，
∴${T_k}={S_{2k}}-{S_k}={2^{2k-1}}-{2^{k-1}}={2^{k-1}}（{2^k}-1）$…（13分）
當(dāng)n=k+1，k+2，…，2k，${b_n}={a_n}{a_{n+1}}={2^{2n-3}}$，∴${T_{2k}}-{T_k}={2^{2（k+1）-3}}•\frac{{1-{4^k}}}{1-4}=\frac{{{2^{2k-1}}（{4^k}-1）}}{3}$，
∴$\frac{{{T_{2k}}}}{T_k}=\frac{{{T_{2k}}-{T_k}}}{T_k}+1=\frac{{{2^k}（{2^k}+1）}}{3}+1$，要使$\frac{{{T_{2k}}}}{T_k}$取整數(shù)，需$\frac{{{2^k}+1}}{3}$為整數(shù)，
令${c_k}=\frac{{{2^k}+1}}{3}$，
∴${c_{k+2}}-{c_k}=\frac{{{2^{k+2}}+1}}{3}-\frac{{{2^k}+1}}{3}={2^k}$，
∴c_k+2，c_k要么都為整數(shù)，要么都不是整數(shù)，
又c₁=1，${c_2}=\frac{5}{3}$，
∴當(dāng)且僅當(dāng)k為奇數(shù)時，c_k為整數(shù)，
即k的取值集合為{k|k=2n-1，n∈Z^*}時，$\frac{{{T_{2k}}}}{T_k}$取整數(shù)．…（16分）

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列的綜合應(yīng)用，數(shù)列的遞推關(guān)系式以及數(shù)列求和，考查分類討論思想的應(yīng)用，考查計算能力．