Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x³+ax²-a²x-1，二次函數(shù)g（x）=ax²-x-1
（1）若a＜0，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)函數(shù)y=f（x）與y=g（x）的圖象只有一個(gè)公共點(diǎn)且g（x）存在最大值時(shí)，記g（x）的最大值為h（a），求函數(shù)h（a）的解析式；
（3）若函數(shù)f（x）與g（x）在區(qū)間（a-2，a）內(nèi)均為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用

專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求導(dǎo)f′(x)=3x2+2ax-a2=3(x-

a

3

)(x+a)，由導(dǎo)數(shù)的正負(fù)確定函數(shù)的單調(diào)性；
（2）由二次函數(shù)g（x）=ax²-x-1有最大值可得a＜0，再由函數(shù)y=f（x）與y=g（x）的圖象只有一個(gè)公共點(diǎn)可得-1≤a≤1，從而可得-1≤a＜0，從而g（x）的最大值為h（a）；
（3）分a正負(fù)討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而得到不等式組，從而求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：（1）f′(x)=3x2+2ax-a2=3(x-

a

3

)(x+a)，
∵a＜0，
∴

a

3

＜-a，
故函數(shù)f（x）在區(qū)間(-∞，

a

3

)，（-a，+∞）上單調(diào)遞增，在(

a

3

，-a)上單調(diào)遞減．
（2）∵二次函數(shù)g（x）=ax²-x-1有最大值，
∴a＜0．
由f（x）=g（x）得x（x²-a²+1）=0，
∵函數(shù)y=f（x）與y=g（x）的圖象只有一個(gè)公共點(diǎn)，
∴-a²+1≥0，
∴-1≤a≤1．
又∵a＜0，
∴-1≤a＜0．
又g(x)=a(x-

1

2a

)2-

1

4a

-1，
∴h(a)=-

1

4a

-1，-1≤a＜0．
（3）當(dāng)a＜0時(shí)，函數(shù)f（x）在區(qū)間(-∞，

a

3

)、（-a，+∞）上單調(diào)遞增，函數(shù)g（x）在區(qū)間(-∞，

1

2a

)上單調(diào)遞增．
∴

a＜0 a≤ a 3 a≤ 1 2a

，
解得a≤-

2

2

．
當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，-a）、(

a

3

，+∞)上單調(diào)遞增，函數(shù)g（x）在區(qū)間(

1

2a

，+∞)上單調(diào)遞增．
∴

a＞0 a-2≥ a 3 a-2≥ 1 2a

，解得a≥3．
綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-∞，-

2

2

]∪[3，+∞)．

點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，屬于難題．