Question

已知二次函數(shù)，，的最小值為．
⑴求函數(shù)的解析式；
⑵設(shè)，若在上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
⑶設(shè)函數(shù)，若此函數(shù)在定義域范圍內(nèi)不存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.[

Answer 1

（1）；（2）；（3）。

解析試題分析：(1)由可設(shè)，再由的最小值求a的值；（2）首先對(duì)
二次項(xiàng)系數(shù)分、、三種情況討論，然后確定對(duì)稱軸與給定區(qū)間
端點(diǎn)的關(guān)系；（3）要滿足題意，須有有解，且無(wú)解.然后求
的最小值，令，但不屬于的值域，即可得實(shí)數(shù)的取值范圍。
⑴ 由題意設(shè)，
∵的最小值為， ∴，且， ∴ ，
∴ .
⑵ ∵，
①當(dāng)時(shí)，在[-1, 1]上是減函數(shù)，∴ 符合題意.
② 當(dāng)時(shí)，對(duì)稱軸方程為：，
�。┊�(dāng)，即 時(shí)，拋物線開(kāi)口向上，
由，  得  ， ∴；
ⅱ）當(dāng)， 即時(shí)，拋物線開(kāi)口向下，
由，得 ， ∴.
綜上知，實(shí)數(shù)的取值范圍為.
⑶法一：∵ 函數(shù)在定義域內(nèi)不存在零點(diǎn)，必須且只須有
有解，且無(wú)解.
∴，且不屬于的值域，
又∵，
∴的最小值為，的值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/d2/8/lknru.png" style="vertical-align:middle;" />，
∴，且
∴的取值范圍為.
法二：，令，
必有，得，
因?yàn)楹瘮?shù)在定義域內(nèi)不存在零點(diǎn)，，
得，即，又（否則函數(shù)定義域?yàn)榭占�，不是函�?shù)），
的取值范圍是。
考點(diǎn)：（1）待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式；（2）二次項(xiàng)系數(shù)及二次函數(shù)對(duì)稱軸與給定區(qū)間引起的分類討論；（3）構(gòu)造函數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)。