Question

2．設(shè)單位向量$\overrightarrow{{e}_{1}}$，$\overrightarrow{{e}_{2}}$的夾角為$\frac{2π}{3}$，$\overrightarrow{a}$=$\overrightarrow{{e}_{1}}$+2$\overrightarrow{{e}_{2}}$，$\overrightarrow$=2$\overrightarrow{{e}_{1}}$-3$\overrightarrow{{e}_{2}}$，則$\overrightarrow$在$\overrightarrow{a}$方向上的投影為（　�。�

• A． -$\frac{3\sqrt{3}}{2}$
• B． -$\frac{2\sqrt{3}}{2}$
• C． $\frac{2\sqrt{3}}{2}$
• D． $\frac{3\sqrt{3}}{2}$

Answer 1

分析 根據(jù)條件便可得到${\overrightarrow{{e}_{1}}}^{2}={\overrightarrow{{e}_{2}}}^{2}=1$，且$\overrightarrow{{e}_{1}}•\overrightarrow{{e}_{2}}=-\frac{1}{2}$，這樣進行數(shù)量積的運算便可求出$\overrightarrow{a}•\overrightarrow=-\frac{9}{2}$，并求出$|\overrightarrow{a}|=\sqrt{3}$，而可以得出$\overrightarrow$在$\overrightarrow{a}$方向上的投影為$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}|}$，從而可求出該投影的值．

解答 解：${\overrightarrow{{e}_{1}}}^{2}=1，{\overrightarrow{{e}_{2}}}^{2}=1，\overrightarrow{{e}_{1}}•\overrightarrow{{e}_{2}}=-\frac{1}{2}$；
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow=（\overrightarrow{{e}_{1}}+2\overrightarrow{{e}_{2}}）•（2\overrightarrow{{e}_{1}}-3\overrightarrow{{e}_{2}}）$
=$2{\overrightarrow{{e}_{1}}}^{2}+\overrightarrow{{e}_{1}}•\overrightarrow{{e}_{2}}-6{\overrightarrow{{e}_{2}}}^{2}$
=$2-\frac{1}{2}-6$
=$-\frac{9}{2}$；
$|\overrightarrow{a}|=\sqrt{（\overrightarrow{{e}_{1}}+2\overrightarrow{{e}_{2}}）^{2}}=\sqrt{{\overrightarrow{{e}_{1}}}^{2}+4\overrightarrow{{e}_{1}}•\overrightarrow{{e}_{2}}+4{\overrightarrow{{e}_{2}}}^{2}}$=$\sqrt{1-2+4}=\sqrt{3}$；
∴$\overrightarrow$在$\overrightarrow{a}$方向上的投影為：$|\overrightarrow|cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow＞=|\overrightarrow|•\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|}=\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}|}$=$\frac{-\frac{9}{2}}{\sqrt{3}}=-\frac{3\sqrt{3}}{2}$．
故選：A．

點評 考查單位向量的概念，向量的數(shù)量積的運算及計算公式，以及一個向量在另一個向量方向上投影的定義及其計算公式，向量夾角的余弦公式．