Question

16．已知數(shù)列{a_n}，a₁≠0，2a_n=a₁（1+S_n）（n∈N^*），S_n為數(shù)列{a_n}的前n項和．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式a_n；
（Ⅱ）設b_n=$\frac{n}{a_n}$，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用遞推式與等比數(shù)列的通項公式即可得出；
（2）由（1）得b_n=$\frac{n}{a_n}$=$\frac{n}{{2}^{n-1}}$，利用“錯位相減法”、等比數(shù)列的前n項和公式即可得出．

解答 解：（1）∵a₁≠0，2a_n=a₁（1+S_n）（n∈N^*），
當n=1時，2a₁=a₁（1+a₁），解得a₁=1，
當n＞1時，則2a_n=1+S_n，
∴2a_n-2a_n-1=（1+S_n）-（1+S_n-1）=a_n，
∴a_n=2a_n-1，
∴數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，首項為1，公比為2，
∴a_n=2^n-1；
（2）由（1）得b_n=$\frac{n}{a_n}$=$\frac{n}{{2}^{n-1}}$，
∴T_n=1+$\frac{2}{2}+\frac{3}{{2}^{2}}$+…+$\frac{n-1}{{2}^{n-2}}$+$\frac{n}{{2}^{n-1}}$，①
$\frac{1}{2}{T}_{n}$=$\frac{1}{2}+\frac{2}{{2}^{2}}$+$\frac{3}{{2}^{3}}$+…+$\frac{n-1}{{2}^{n-1}}$+$\frac{n}{{2}^{n}}$，②
①-②得：$\frac{1}{2}{T}_{n}$=1+$\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n-1}}$-$\frac{n}{{2}^{n}}$=$\frac{1-\frac{1}{{2}^{n}}}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{n}{{2}^{n}}$=2-$\frac{n+2}{{2}^{n}}$，
∴T_n=4-$\frac{n+2}{{2}^{n-1}}$．

點評 本題考查了“錯位相減法”、等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式、遞推式的應用，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．