Question

4．已知函數(shù)f（x）=x²+|x-a|+1，x∈R，
（1）當a=0時，判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（2）當$a=\frac{1}{2}$時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）當$a≥-\frac{1}{2}$時，求函數(shù)f（x）的最小值．

Answer 1

分析 （1）求出a=0時，f（x）的解析式，由偶函數(shù)的定義，即可判斷；
（2）去絕對值，結(jié)合二次函數(shù)的對稱軸和單調(diào)性，可得單調(diào)區(qū)間；
（3）去絕對值，討論a的范圍，求得單調(diào)區(qū)間，即可得到最小值．

解答 解：（1）當a=0時，f（x）=x²+|x|+1，定義域為R，
f（-x）=（-x）²+|-x|+1=x²+|x|+1=f（x），
則f（x）為偶函數(shù)；
（2）當a=$\frac{1}{2}$時，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+x+\frac{1}{2}，x≥\frac{1}{2}}\\{{x}^{2}-x+\frac{3}{2}，x＜\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
當x$≥\frac{1}{2}$時，f（x）=（x+$\frac{1}{2}$）²+$\frac{1}{4}$遞增；
當x＜$\frac{1}{2}$時，f（x）=（x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{5}{4}$，遞減．
則f（x）的單調(diào)減區(qū)間為$（-∞，\frac{1}{2}）$，增區(qū)間為$（\frac{1}{2}，+∞）$；
（3）f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+x-a+1，x≥a}\\{{x}^{2}-x+a+1，x＜a}\end{array}\right.$，
（�。┊�$a≥\frac{1}{2}$時，f（x）在$（-∞，\frac{1}{2}）$上遞減，在$（\frac{1}{2}，+∞）$上遞增，$f{（x）_{min}}=a+\frac{3}{4}$；
（ⅱ）當$-\frac{1}{2}≤a＜\frac{1}{2}$時，f（x）在（-∞，a）上遞減，在（a，+∞）上遞增，$f{（x）_{min}}={a^2}+1$．

點評 本題考查含絕對值函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性及最值求法，注意去絕對值化為二次函數(shù)解決，運用分類討論的思想方法是解題的關(guān)鍵．