Question

16．已知函數(shù)f（x）=（$\frac{1}{2}$）^x-lnx，若實數(shù)x₀滿足f（x₀）＞log${\;}_{\frac{1}{8}}$sin$\frac{π}{8}$+log${\;}_{\frac{1}{8}}$cos$\frac{π}{8}$，則x₀的取值范圍是（0，1）．

Answer 1

分析 運用二倍角的正弦公式和對數(shù)的運算性質化簡log${\;}_{\frac{1}{8}}$sin$\frac{π}{8}$+log${\;}_{\frac{1}{8}}$cos$\frac{π}{8}$，再由函數(shù)f（x）的單調性，即可得到所求范圍．

解答 解：log${\;}_{\frac{1}{8}}$sin$\frac{π}{8}$+log${\;}_{\frac{1}{8}}$cos$\frac{π}{8}$=$lo{g}_{\frac{1}{8}}（sin\frac{π}{8}cos\frac{π}{8}）$
=$lo{g}_{\frac{1}{8}}（\frac{1}{2}sin\frac{π}{4}）$=$lo{g}_{\frac{1}{8}}\frac{1}{2\sqrt{2}}$=$\frac{1}{2}$，
由函數(shù)f（x）=（$\frac{1}{2}$）^x-lnx在（0，+∞）遞減，
且f（1）=$\frac{1}{2}$，
又f（x₀）＞$\frac{1}{2}$=f（1），
即有0＜x₀＜1．
故答案為：（0，1）．

點評 本題考查函數(shù)的單調性的運用：解不等式，同時考查二倍角的正弦公式的運用，屬于中檔題．