Question

20．過拋物線L：x²=2py（p＞0）的焦點F且斜率為$\frac{3}{4}$的直線與拋物線L在第一象限的交點為P，且|PF|=5．
（1）求拋物線L的方程；
（2）與圓x²+（y+1）²=1相切的直線l：y=kx+t交拋物線L于不同的兩點M、N，若拋物線上一點C滿足$\overrightarrow{OC}$=λ（$\overrightarrow{OM}$+$\overrightarrow{ON}$）（λ＞0），求λ的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）設(shè)直線方程為y=$\frac{3}{4}$x+$\frac{p}{2}$，代入x²=2py，求出P的坐標(biāo)，利用拋物線的定義，求出p，即可求拋物線L的方程；
（2）為直線與圓相切，利用相切的性質(zhì)即可得出k與t 的關(guān)系式，再把直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立得到關(guān)于x的一元二次方程，利用判別式△＞0得到t的取值范圍，利用根與系數(shù)的關(guān)系及已知滿足足$\overrightarrow{OC}$=λ（$\overrightarrow{OM}$+$\overrightarrow{ON}$）（λ＞0），即可得出λ的取值范圍．

解答 解：（1）設(shè)直線方程為y=$\frac{3}{4}$x+$\frac{p}{2}$，
代入x²=2py，可得x²-$\frac{3}{2}$p-p²=0，∴x=2p或-$\frac{p}{2}$，
∴P（2p，2p），
∵|PF|=5，
∴2p+$\frac{p}{2}$=5，
∴p=2，
∴拋物線L的方程x²=4y；
（2）∵直線與圓相切，
∴$\frac{|t+1|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=1，
∴k²=t²+2t，
把直線方程代入拋物線方程并整理得：x²-4kx-4t=0
由△=16k²+16t=16（t²+2t）+16t＞0得t＞0或t＜-3
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
則x₁+x₂=4k，y₁+y₂=4k²+2t
由$\overrightarrow{OC}$=λ（$\overrightarrow{OM}$+$\overrightarrow{ON}$）=（4kλ，（4k²+2t）λ）
得C（4kλ，（4k²+2t）λ）
∵點C在拋物線x²=4y上，
∴16k²λ²=4（4k²+2t）λ，
∴λ=1+$\frac{t}{2{k}^{2}}$=1+$\frac{1}{2t+4}$
∵t＞0或t＜-3，
∴2t+4＞4或 2t+4＜-2
∴λ的取值范圍為（$\frac{1}{2}$，1）∪（1，$\frac{5}{4}$）．

點評 本題主要考查拋物線的方程與性質(zhì)、直線方程、直線與拋物線及圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運算能力、推理論證以及分析問題、解決問題的能力．