Question

15．已知拋物線y²=2px（p＞0）的準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為Q，過(guò)點(diǎn)Q的直線與拋物線相切于點(diǎn)P，F(xiàn)是拋物線的焦點(diǎn)，若△PQF的面積為8，則P的值為4．

Answer 1

分析 由題意，Q（-$\frac{p}{2}$，0），F(xiàn)（$\frac{p}{2}$，0），設(shè)P（a，b），利用△PQF的面積為8，求出P的坐標(biāo)，求出拋物線在P的切線方程，Q（-$\frac{p}{2}$，0），代入可得0-$\frac{16}{p}$=$\frac{p}{\frac{16}{p}}$（-$\frac{p}{2}$-$\frac{128}{{p}^{3}}$），解方程，可得p的值．

解答 解：由題意，Q（-$\frac{p}{2}$，0），F(xiàn)（$\frac{p}{2}$，0），設(shè)P（a，b），
∵△PQF的面積為8，
∴$\frac{1}{2}×p×|b|$=8，
∴|b|=$\frac{16}{p}$，∴a=$\frac{128}{{p}^{3}}$，
取P（$\frac{128}{{p}^{3}}$，$\frac{16}{p}$），則拋物線在P的切線方程為y-$\frac{16}{p}$=$\frac{p}{\frac{16}{p}}$（x-$\frac{128}{{p}^{3}}$），
Q（-$\frac{p}{2}$，0），代入可得0-$\frac{16}{p}$=$\frac{p}{\frac{16}{p}}$（-$\frac{p}{2}$-$\frac{128}{{p}^{3}}$），
∴p=4．
故答案為：4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的方程與性質(zhì)，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查拋物線的切線方程，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．