Question

10．已知函數(shù)f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤$\frac{π}{2}$）相鄰兩對(duì)稱中心之間的距離為π，且f（x）＞1對(duì)于任意的x∈（-$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{3}$）恒成立，則φ的取值范圍是（　　）

• A． [$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]
• B． [$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]
• C． [$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{2}$]
• D． [$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{3}$]

Answer 1

分析 由條件利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，求得ω=1，再根據(jù)當(dāng)x∈（-$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{3}$）時(shí)，sin（x+φ）＞$\frac{1}{2}$恒成立，可得-$\frac{π}{12}$+φ≥$\frac{π}{6}$，且$\frac{π}{3}$+φ≤$\frac{5π}{6}$，由此求得φ的取值范圍．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤$\frac{π}{2}$）相鄰兩對(duì)稱中心之間的距離為π，
∵$\frac{2π}{ω}$=2π，ω=1，f（x）=2sin（x+φ）．
當(dāng)x∈（-$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{3}$），即x+φ∈（-$\frac{π}{12}$+φ，$\frac{π}{3}$+φ）時(shí)，f（x）＞1恒成立，
∴sin（x+φ）＞$\frac{1}{2}$恒成立，∴-$\frac{π}{12}$+φ≥$\frac{π}{6}$，且$\frac{π}{3}$+φ≤$\frac{5π}{6}$．
求得$\frac{π}{4}$≤φ≤$\frac{π}{2}$，
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，函數(shù)的恒成立問題，屬于中檔題．