Question

【題目】紅鈴蟲是棉花的主要害蟲之一，能對農(nóng)作物造成嚴(yán)重傷害，每只紅鈴蟲的平均產(chǎn)卵數(shù)y和平均溫度x有關(guān)，現(xiàn)收集了以往某地的7組數(shù)據(jù)，得到下面的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值.（表中）

平均溫度		21		23	25	27	29	32	35
平均產(chǎn)卵數(shù)/個(gè)		7		11	21	24	66	115	325
27.429	81.286		3.612	40.182				147.714

（1）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，與（其中自然對數(shù)的底數(shù)）哪一個(gè)更適宜作為平均產(chǎn)卵數(shù)y關(guān)于平均溫度x的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）并由判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的回歸方程.（計(jì)算結(jié)果精確到小數(shù)點(diǎn)后第三位）

（2）根據(jù)以往統(tǒng)計(jì)，該地每年平均溫度達(dá)到28℃以上時(shí)紅鈴蟲會造成嚴(yán)重傷害，需要人工防治，其他情況均不需要人工防治記該地每年平均溫度達(dá)到28℃以上的概率為.

①記該地今后5年中，恰好需要3次人工防治的概率為，求的最大值，并求出相應(yīng)的概率p.

②當(dāng)取最大值時(shí)，記該地今后5年中，需要人工防治的次數(shù)為X，求X的數(shù)學(xué)期望和方差.

附：線性回歸方程系數(shù)公式.

Answer 1

【答案】（1）更適宜，；（2）①，；②，

【解析】

（1）根據(jù)散點(diǎn)圖選擇合適函數(shù)模擬，利用變量，構(gòu)造線性回歸方程，利用已知量求解出關(guān)于的線性回歸方程，即可求解出y關(guān)于x的回歸方程；

（2）①先表示出，然后根據(jù)分析出的最大值以及的值；

②根據(jù)的值以及二項(xiàng)分布的均值與方差的計(jì)算方法求解出結(jié)果即可.

解：（1）根據(jù)散點(diǎn)圖可以判斷，更適宜作為平均產(chǎn)卵數(shù)

y關(guān)于平均溫度x的回歸方程類型；

對兩邊取自然對數(shù)，得；

令，得；

因?yàn)?/span>，

；

所以z關(guān)于x的回歸方程為；

所以y關(guān)于x的回歸方程為；

（2）（i）由，

得，

因?yàn)?/span>，令，得，解得；

所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

所以有唯一的極大值為，也是最大值；

所以當(dāng)時(shí)，；

（ii）由（i）知，當(dāng)取最大值時(shí)，，所以，

所以X的數(shù)學(xué)期望為，

方差為.