Question

8．若k≠0，n是大于1的自然數(shù)，二項式（1+$\frac{x}{k}$）ⁿ的展開式為a₀+a₁x+a₂x²+a₃x³+a₄x⁴…+a_nxⁿ．若點A_i（i，a_i）（i=0，1，2）的位置如圖所示，則${∫}_{-1}^{k}$x²dx的值為（　�。�

• A． $\frac{28}{3}$
• B． $\frac{26}{3}$
• C． 28
• D． 26

Answer 1

分析 在所給的等式中，分別a₀=1，a₁=3，a₂=4，可得2個等式，再根據(jù)所得的2個等式求出k，再根據(jù)定積分的計算法則計算即可．

解答 解：${（1+\frac{x}{k}）^n}$的展開式的通項為${T_{r+1}}=C_n^r{（\frac{x}{k}）^r}=\frac{1}{k^r}C_n^r{x^r}$
由圖可知，a₀=1，a₁=3，a₂=4，
∴$\frac{1}{k}C_n^1=3，\frac{1}{k^2}C_n^2=4$
∴$\frac{n}{k}=3，\frac{n（n-1）}{{2{k^2}}}=4$，
∴k=3，
∴$\int_{-1}^k{{x^2}dx}=\int_{-1}^3{{x^2}dx}=\frac{x^3}{3}|_{-1}^3=\frac{28}{3}$，
故選：A．

點評 本題主要考查二項式定理的應用，定積分的計算，屬于基礎題．