Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x³-3ax，若對(duì)任意實(shí)數(shù)m，直線x+y+m=0都不是曲線y=f（x）的切線，則a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：由直線x+y+m=0得直線斜率為-1，直線x+y+m=0不與曲線f（x）相切知曲線f（x）上任一點(diǎn)斜率都不為-1，即f′（x）≠-1，求導(dǎo)函數(shù)，并求出其范圍[-3a，+∞），得不等式-3a＞-1，即得實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：設(shè)f（x）=x³-3ax，求導(dǎo)函數(shù)，
可得f′（x）=3x²-3a∈[-3a，+∞），
∵對(duì)任意實(shí)數(shù)m，直線x+y+m=0都不是曲線y=f（x）的切線，
∴-1∉[-3a，+∞），∴-3a＞-1，
即實(shí)數(shù)a的取值范圍為a＜

1

3

．
故答案為：a＜

1

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．