Question

10．已知$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$的夾角為120°，且|$\overrightarrow{a}$|=4，|$\overrightarrow$|=2，求：
（1）（$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow$）•（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）；
（2）（$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow$）與（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）的夾角θ．

Answer 1

分析 （1）由數(shù)量積的運算可得（$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow$）•（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）=${\overrightarrow{a}}^{2}$-$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow$-2${\overrightarrow}^{2}$，代值計算即可；
（2）由模長公式可得|$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow$|和|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|，代入夾角公式計算可得．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$的夾角為120°，且|$\overrightarrow{a}$|=4，|$\overrightarrow$|=2，
∴（$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow$）•（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）=${\overrightarrow{a}}^{2}$-$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow$-2${\overrightarrow}^{2}$
=16-4×2×（-$\frac{1}{2}$）-2×4=12；
（2）由模長公式可得|$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow$|=$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}-4\overrightarrow{a}•\overrightarrow+4{\overrightarrow}^{2}}$
=$\sqrt{16-4×4×2×（-\frac{1}{2}）+4×4}$=4$\sqrt{3}$，
同理可得|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=2$\sqrt{3}$
∵（$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow$）與（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）的夾角θ，
∴cosθ=$\frac{（\overrightarrow{a}-2\overrightarrow）•（\overrightarrow{a}+\overrightarrow）}{|\overrightarrow{a}-2\overrightarrow||\overrightarrow{a}+\overrightarrow|}$=$\frac{12}{4\sqrt{3}•2\sqrt{3}}$=$\frac{1}{2}$
∴（$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow$）與（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）的夾角θ=$\frac{π}{3}$

點評 本題考查數(shù)量積與向量的夾角，涉及模長公式和夾角公式，屬基礎(chǔ)題．