Question

1．如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，BD是⊙O的直徑，過點A作⊙O的切線AE，與CD的延長線交于E，AE⊥CD，垂足為點E．
（Ⅰ）證明：DA平分∠BDE；
（Ⅱ）如果AB=4，AE=2，求對角線CA的長．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由于AE是⊙O的切線，可得∠DAE=∠ABD．由于BD是⊙O的直徑，可得∠BAD=90°，因此∠ABD+∠ADB=90°，∠ADE+∠DAE=90°，即可得出∠ADB=∠ADE．．
（Ⅱ）由（1）可得：△ADE∽△BDA，可得$\frac{AE}{AD}=\frac{AB}{BD}$，BD=2AD．因此∠ABD=30°．利用DE=AEtan30°．切割線定理可得：AE²=DE•CE，即可解出CD，又AD=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，∠ADC=120°，由余弦定理可得AC．

解答 （Ⅰ）證明：∵AE是⊙O的切線，∴∠DAE=∠ABD，
∵BD是⊙O的直徑，∴∠BAD=90°，
∴∠ABD+∠ADB=90°，
又∠ADE+∠DAE=90°，
∴∠ADB=∠ADE．
∴DA平分∠BDE．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可得：△ADE∽△BDA，∴$\frac{AE}{AD}=\frac{AB}{BD}$，
∵AB=4，AE=2，∴BD=2AD．
∴∠ABD=30°．
∴∠DAE=30°．
∴DE=AEtan30°=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
由切割線定理可得：AE²=DE•CE，
∴解得CD=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
又AD=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，∠ADC=120°，
∴由余弦定理可得AC²=（$\frac{4\sqrt{3}}{3}$）²+（$\frac{4\sqrt{3}}{3}$）²-2×$\frac{4\sqrt{3}}{3}$×$\frac{4\sqrt{3}}{3}$cos120°=16，
∴AC=4．

點評 本題考查了弦切角定理、圓的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)、直角三角形的邊角公式、切割線定理，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．