Question

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為矩形，側(cè)棱PA⊥底面ABCD，點E，F(xiàn)分別為BC、PD的中點，若PA=AD=4，AB=2．
（1）求證：EF∥平面PAB．
（2）求直線EF與平面PCD所成的角．

Answer 1

【答案】
（1）證明：依題意，以A為原點，分別以AB、AD、AP所在

直線為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖，則A（0，0，0），B（2，0，0），P（0，0，4），D（0，4，0）C（2，4，0），E（2，2，0），F(xiàn)（0，2，2）

∴ =（﹣2，0，2），平面PAB的一個法向量是 =（0，4，0）

∵ =0，

∴ ，

故 EF∥平面PAB

（2）∵ =（2，0，0）， =（0，﹣4，4）.

設(shè)平面PCD的一個法向量為 =（x，y，z）

則 得 ∴令z=1，得 =（0，1，1）

而 =（﹣2，0，2），

∴cos＜ ， ＞= = ，

∴＜ ， ＞=60°

所以EF與平面PCD所成的角是90°﹣60°=30°

【解析】（1）以A為原點，分別以AB、AD、AP所在直線為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系， =（﹣2，0，2），平面PAB的一個法向量是 =（0，4，0），證明 ，即可證明EF∥平面PAB；（2）求出平面PCD的一個法向量，即可求直線EF與平面PCD所成的角．
【考點精析】利用直線與平面平行的判定和空間角的異面直線所成的角對題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行；已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為，則．