【題目】已知函數(shù).
(1)求的極值;
(2)若,求正實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)當(dāng)時(shí),的極小值為,無(wú)極大值;當(dāng)時(shí),的極小值為,無(wú)極大值;(2).
【解析】
(1)由題可知,,,分類(lèi)討論和時(shí),利用導(dǎo)函數(shù)求出的單調(diào)性,進(jìn)而可求出極值;
(2)因?yàn)?/span>,所以,構(gòu)造函數(shù),,求導(dǎo),分類(lèi)討論和時(shí)的單調(diào)性,進(jìn)而得出的最值,從而得出正實(shí)數(shù)的取值范圍.
(1)因?yàn)?/span>,,
①當(dāng)時(shí),,
若,則,在單調(diào)遞減;
若,則,在單調(diào)遞增,
所以的極小值為,無(wú)極大值;
②當(dāng)時(shí),,
若,則,在單調(diào)遞減;
若,則,所以在單調(diào)遞增,
所以的極小值為,無(wú)極大值;
綜上所述,當(dāng)時(shí),的極小值為,無(wú)極大值;
當(dāng)時(shí),的極小值為,無(wú)極大值.
(2)由(1)知,當(dāng)時(shí),在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增,
所以,所以,
因?yàn)?/span>,
所以,所以,(*),
令,,
則,
因?yàn)?/span>,所以,
①若,則,
當(dāng)時(shí),則,所以在單調(diào)遞增,
當(dāng)時(shí),則,所以在單調(diào)遞減,
所以,
又因?yàn)?/span>,且和都在處取得最值,
所以當(dāng),解得,所以,
②若,則,
當(dāng)時(shí),,在單調(diào)遞減;
當(dāng)時(shí),,在單調(diào)遞增;
當(dāng)時(shí),,在單調(diào)遞減,
所以,與(*)矛盾,不符合題意,舍去.
綜上,正實(shí)數(shù)的取值范圍為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某公司甲、乙兩個(gè)班組分別試生產(chǎn)同一種規(guī)格的產(chǎn)品,已知此種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)檢測(cè)分?jǐn)?shù)不小于70時(shí),該產(chǎn)品為合格品,否則為次品,現(xiàn)隨機(jī)抽取兩個(gè)班組生產(chǎn)的此種產(chǎn)品各100件進(jìn)行檢測(cè),其結(jié)果如下表:
質(zhì)量指標(biāo)檢測(cè)分?jǐn)?shù) | [50,60) | [60,70) | [70,80) | [80,90) | [90,100] |
甲班組生產(chǎn)的產(chǎn)品件數(shù) | 7 | 18 | 40 | 29 | 6 |
乙班組生產(chǎn)的產(chǎn)品件數(shù) | 8 | 12 | 40 | 32 | 8 |
(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù),估計(jì)甲、乙兩個(gè)班組生產(chǎn)該種產(chǎn)品各自的不合格率;
(2)根據(jù)以上數(shù)據(jù),完成下面的2×2列聯(lián)表,并判斷是否有95%的把握認(rèn)為該種產(chǎn)品的質(zhì)量與生產(chǎn)產(chǎn)品的班組有關(guān)?
甲班組 | 乙班組 | 合計(jì) | |
合格品 | |||
次品 | |||
合計(jì) |
(3)若按合格與不合格比例,從甲班組生產(chǎn)的產(chǎn)品中抽取4件產(chǎn)品,從乙班組生產(chǎn)的產(chǎn)品中抽取5件產(chǎn)品,記事件A:從上面4件甲班組生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取2件,且都是合格品;事件B:從上面5件乙班組生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取2件,一件是合格品,一件是次品,試估計(jì)這兩個(gè)事件哪一種情況發(fā)生的可能性大.
附:
P(K2≥k) | 0.050 | 0.010 | 0.001 |
k | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】甲、乙兩家外賣(mài)公司,其送餐員的日工資方案如下:甲公司底薪70元,每單抽成2元;乙公司無(wú)底薪,40單以?xún)?nèi)(含40單)的部分每單抽成4元,超出40單的部分每單抽成6元.假設(shè)同一公司的送餐員一天的送餐單數(shù)相同,現(xiàn)從兩家公司各隨機(jī)抽取一名送餐員,并分別記錄其100天的送餐單數(shù),得到如下頻數(shù)表:
甲公司送餐員送餐單數(shù)頻數(shù)表
送餐單數(shù) | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 |
天數(shù) | 20 | 40 | 20 | 10 | 10 |
乙公司送餐員送餐單數(shù)頻數(shù)表
送餐單數(shù) | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 |
天數(shù) | 10 | 20 | 20 | 40 | 10 |
(1)現(xiàn)從甲公司記錄的這100天中隨機(jī)抽取兩天,求這兩天送餐單數(shù)都大于40的概率;
(2)若將頻率視為概率,回答以下問(wèn)題:
(i)記乙公司送餐員日工資為(單位:元),求的分布列和數(shù)學(xué)期望;
(ii)小明擬到甲、乙兩家公司中的一家應(yīng)聘送餐員,如果僅從日工資的角度考慮,請(qǐng)利用所學(xué)的統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)為他作出選擇,并說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】上世紀(jì)末河南出土的以鶴的尺骨(翅骨)制成的“骨笛”(圖1),充分展示了我國(guó)古代高超的音律藝術(shù)及先進(jìn)的數(shù)學(xué)水平,也印證了我國(guó)古代音律與歷法的密切聯(lián)系.圖2為骨笛測(cè)量“春(秋)分”,“夏(冬)至”的示意圖,圖3是某骨笛的部分測(cè)量數(shù)據(jù)(骨笛的彎曲忽略不計(jì)),夏至(或冬至)日光(當(dāng)日正午太陽(yáng)光線)與春秋分日光(當(dāng)日正午太陽(yáng)光線)的夾角等于黃赤交角.
由歷法理論知,黃赤交角近1萬(wàn)年持續(xù)減小,其正切值及對(duì)應(yīng)的年代如下表:
黃赤交角 | |||||
正切值 | 0.439 | 0.444 | 0.450 | 0.455 | 0.461 |
年代 | 公元元年 | 公元前2000年 | 公元前4000年 | 公元前6000年 | 公元前8000年 |
根據(jù)以上信息,通過(guò)計(jì)算黃赤交角,可估計(jì)該骨笛的大致年代是( )
A.公元前2000年到公元元年B.公元前4000年到公元前2000年
C.公元前6000年到公元前4000年D.早于公元前6000年
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,是邊長(zhǎng)為4的正方形,平面,分別為的中點(diǎn).
(1)證明:平面.
(2)若,求二面角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,是邊長(zhǎng)為4的正方形,平面,分別為的中點(diǎn).
(1)證明:平面.
(2)若,求二面角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】有下列命題:
①函數(shù)與的圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng);
②若函數(shù),則,都有;
③若函數(shù),在上單調(diào)遞增,則;
④若函數(shù),則函數(shù)的最小值為.
其中真命題的序號(hào)是______.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,直線l的參數(shù)方程為為參數(shù)),以原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=asinθ(a≠0).
(1)求圓C的直角坐標(biāo)方程與直線l的普通方程;
(2)設(shè)直線l截圓C的弦長(zhǎng)是半徑長(zhǎng)的倍,求a的值.
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