Question

7．已知函數(shù)f（x）=x²-4x+3，g（x）=mx+5-2m．若對任意的x₁∈[2，4]，總存在x₂∈[1，4]．使f（x₁）=g（x₂）成立．求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 根據(jù)對任意的x₁∈[2，4]，總存在x₂∈[1，4]，使f（x₁）=g（x₂）成立，可得兩個(gè)函數(shù)值域的包含關(guān)系，進(jìn)而根據(jù)關(guān)于m的不等式組，解不等式組可得答案．

解答 解：∵f（x）=x²-4x+3=（x-2）²-1．g（x）=mx+5-2m．
∴當(dāng)x∈[2，4]時(shí)，f（x）∈[-1，3]，記A=[-1，3]．
由題意，知m≠0，當(dāng)m＞0時(shí)，g（x）=mx+5-2m在[1，4]上是增函數(shù)，
∴g（x）∈[5-m，5+2m]，記B=[5-m，5+2m]．
由題意，知A⊆B
∴$\left\{\begin{array}{l}-1≥5-m\\ 3≤5+2m\\ m＞0\end{array}\right.$，解得m≥6…（9分）
當(dāng)m＜0時(shí)，g（x）=mx+5-2m在[1，4]上是減函數(shù)，
∴g（x）∈[5+2m，5-m]，記C=[5+2m，5-m，]．
由題意，知A⊆C
∴$\left\{\begin{array}{l}-1≥5+2m\\ 3≤5-m\\ m＜0\end{array}\right.$，解得m≤-3…（11分）
綜上所述，實(shí)數(shù)m的取值范圍是（-∞，-3]∪[6，+∞）．…..（12分）

點(diǎn)評 本題考查的知識點(diǎn)是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，存在性問題，是函數(shù)圖象和性質(zhì)的綜合應(yīng)用，其中存在性問題轉(zhuǎn)化為值域的包含關(guān)系難度較大．