Question

7．已知函數f（x）=x²-4x+3，g（x）=mx+5-2m．若對任意的x₁∈[2，4]，總存在x₂∈[1，4]．使f（x₁）=g（x₂）成立．求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析 根據對任意的x₁∈[2，4]，總存在x₂∈[1，4]，使f（x₁）=g（x₂）成立，可得兩個函數值域的包含關系，進而根據關于m的不等式組，解不等式組可得答案．

解答 解：∵f（x）=x²-4x+3=（x-2）²-1．g（x）=mx+5-2m．
∴當x∈[2，4]時，f（x）∈[-1，3]，記A=[-1，3]．
由題意，知m≠0，當m＞0時，g（x）=mx+5-2m在[1，4]上是增函數，
∴g（x）∈[5-m，5+2m]，記B=[5-m，5+2m]．
由題意，知A⊆B
∴$\left\{\begin{array}{l}-1≥5-m\\ 3≤5+2m\\ m＞0\end{array}\right.$，解得m≥6…（9分）
當m＜0時，g（x）=mx+5-2m在[1，4]上是減函數，
∴g（x）∈[5+2m，5-m]，記C=[5+2m，5-m，]．
由題意，知A⊆C
∴$\left\{\begin{array}{l}-1≥5+2m\\ 3≤5-m\\ m＜0\end{array}\right.$，解得m≤-3…（11分）
綜上所述，實數m的取值范圍是（-∞，-3]∪[6，+∞）．…..（12分）

點評 本題考查的知識點是二次函數的圖象和性質，存在性問題，是函數圖象和性質的綜合應用，其中存在性問題轉化為值域的包含關系難度較大．