Question

13．數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，已知a₁=1，a_n+1=$\frac{n+2}{n}$S_n，證明：
（1）數(shù)列{$\frac{{S}_{n}}{n}$}是等比數(shù)列；
（2）求S_n與a_n．

Answer 1

分析 （1）利用a_n+1=S_n+1-S_n=$\frac{n+2}{n}$S_n，化簡即得結論；
（2）通過$\frac{{S}_{n}}{n}$=2^n-1即得S_n=n•2^n-1；利用a_n+1=$\frac{n+2}{n}$S_n變形即得a_n=（n+1）•2^n-2（n≥2），檢驗n=1時是否成立即可．

解答 （1）證明：∵a_n+1=$\frac{n+2}{n}$S_n，∴S_n+1-S_n=$\frac{n+2}{n}$S_n，
∴S_n+1=$\frac{2n+2}{n}$S_n，
∴$\frac{{S}_{n+1}}{{S}_{n}}$=2，
∵a₁=1，∴$\frac{{S}_{1}}{1}$=1，
∴數(shù)列{$\frac{{S}_{n}}{n}$}是以1為首項、2為公比的等比數(shù)列；
（2）解：由（1）知，$\frac{{S}_{n}}{n}$=2^n-1，
∴S_n=n•2^n-1；
∵a_n+1=$\frac{n+2}{n}$S_n，∴a_n+1=（n+2）•2^n-1，
∴a_n=（n+1）•2^n-2（n≥2），
∵a₁=1也符合上式，
∴a_n=（n+1）•2^n-2．

點評 本題考查等比數(shù)列的判定，對表達式的靈活變形是解決本題的關鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．