Question

5．公園中有一個月亮門，上邊是半徑為$\frac{\sqrt{17}}{2}$m的圓的劣弧，下邊是長半軸等于2m，短半軸等于1m的半個橢圓，現(xiàn)要搬運一個橫截面為矩形的貨箱水平通過該月亮門．若矩形貨箱的橫截面的水平底邊長為2m，則該貨箱的高所允許的最大值為多少m．

Answer 1

分析 通過建立平面直角坐標(biāo)系，可得EF即為所求最大值，利用勾股定理及兩點間的距離公式計算即可．

解答 解：建立平面直角坐標(biāo)系如圖，橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1，
設(shè)A為劣弧所在圓的圓心，則OA=$\sqrt{A{{F}_{1}}^{2}-O{F}^{2}}$=$\sqrt{\frac{17}{4}-4}$=$\frac{1}{2}$，即A（0，-$\frac{1}{2}$），
設(shè)貨箱的橫截面為MNPQ，則MN=PQ=2，
則EF即為所求最大值，
此時M（-1，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$），∴F（0，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
∴AF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\frac{1}{2}$，
在Rt△AEP中，AE=$\sqrt{A{P}^{2}-E{P}^{2}}$=$\sqrt{\frac{17}{4}-1}$=$\frac{\sqrt{13}}{2}$，
∴EF=AE+AF=$\frac{\sqrt{13}}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\frac{1}{2}$，
故該貨箱的高所允許的最大值為$\frac{\sqrt{13}}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\frac{1}{2}$m．

點評 本題是一道關(guān)于橢圓與圓的應(yīng)用題，建系畫出圖形、找出最大值時的情形是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．