Question

17．已知λ（x）=ax³+x²-ax（a≠0），若存在實(shí)數(shù)a∈（-∞，-$\frac{1}{2}$]，使得函數(shù)μ（x）=λ（x）+λ′（x），x∈[-1，b]在x=-1處取得最小值，則實(shí)數(shù)b的最大值為$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 由μ（x）=ax³+（3a+1）x²+（2-a）x-a，知μ（x）≥μ（-1）在區(qū)間[-1，b]上恒成立，令ϕ（x）=ax²+（2a+1）x+（1-3a），由a∈（-∞，-$\frac{1}{2}$]知其圖象是開(kāi)口向下的拋物線，故它在閉區(qū)間的最小值必在區(qū)間端點(diǎn)處取得，從而可得ϕ（b）≥0，由此能求出b的最大值．

解答 解：由題意，λ（x）=ax³+x²-ax的導(dǎo)數(shù)λ′（x）=3ax²+2x-a，
μ（x）=ax³+（3a+1）x²+（2-a）x-a，
據(jù)題知，μ（x）≥μ（-1）在區(qū)間[-1，b]上恒成立，
即：（x+1）（ax²+（2a+1）x+（1-3a））≥0…①
當(dāng)x=-1時(shí)，不等式①成立；
當(dāng)-1＜x≤b時(shí)，不等式①可化為ax²+（2a+1）x+（1-3a）≥0…②
令ϕ（x）=ax²+（2a+1）x+（1-3a），
由a∈（-∞，-$\frac{1}{2}$]知其圖象是開(kāi)口向下的拋物線，
故它在閉區(qū)間的最小值必在區(qū)間端點(diǎn)處取得．
又ϕ（-$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{2}$-$\frac{15}{4}$a＞0，故不等式②成立的充要條件是ϕ（b）≥0，
整理得：$\frac{^{2}+2b-3}{b+1}$≤-$\frac{1}{a}$在a∈（-∞，-$\frac{1}{2}$]上有解，
∴$\frac{^{2}+2b-3}{b+1}$≤2，
解得-1＜b≤$\sqrt{5}$．
b的最大值為$\sqrt{5}$．
故答案為：$\sqrt{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了有關(guān)不等式恒成立的問(wèn)題，對(duì)于恒成立問(wèn)題，一般選用參變量分離法、最值法、數(shù)形結(jié)合法求解，屬于中檔題．